Теоретические основы

На практике часто приходится сталкиваться с задачей экспериментальных зависимостей или задачей аппроксимации. Напомним, что аппроксимацией называется процесс подбора эмпирической формулы для установленной из опыта функциональной зависимости . Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных.

Обычно задача аппроксимации распадается на две части. Сначала устанавливают вид зависимости и, следовательно, вид эмпирической формулы, т.е. решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим. Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая графики с графиком заданной функции.

После выбора вида формулы определяют ее параметры. Для наилучшего выбора параметров задают меру близости аппроксимации экспериментальных данных. Во многих случаях, в особенности, если функция задана графиком или таблицей (на дискретном множестве точек), для оценки степени приближения рассматривают разности для точек . Существуют различные меры близости и, соответственно, способы решения этой задачи. Некоторые из них просты, быстро приводят к результату, но результат этот является сильно приближенным. Другие более точные, но и более сложные. Обычно определение параметров при неизвестном виде зависимости осуществляют по методу наименьших квадратов. При этом функция считается наилучшим приближением к , если для нее сумма квадратов невязок или отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений yi, имеет наименьшее значение по сравнению с другими функциями, из числа которых выбирается искомое приближение.

Используя методы дифференциального исчисления, метод наименьших квадратов формулирует аналитические условия достижения суммой квадратов отклонений (1.1) своего наилучшего значения.

Теоретические основы (1.1)

Так, если функция вполне определяется своими параметрами k, l, m,…, то наилучшие (в указанном смысле 1.1) значения эти параметров находятся из решения системы уравнений. Например, в простейшем случае, когда функция представлена линейным уравнением , система имеет вид:

Теоретические основы

\


Читать еще…

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: