Теоремы о пределах.

Теорема 1. Наличие предела последовательности и его конкретное значение не зависит от любого конечного числа членов последовательности (из последовательности можно удалить любое конечное количество членов последовательности).

Теорема 2. Если у последовательности существует предел, то он единственный.

Доказательство: «от противного»

Предположим. Что последовательность имеет два предела, причем один больше другого, т.е. ana; an b, причем ba; тогда изобразим эпсилон-окрестность чисел a и b (Oe (a) и Oe (b)), если Теоремы о пределах.

Теоремы о пределах. В этом случае эпсилон-окрестности не пересекаются. Тогда начиная с некоторого номера все члены последовательности должны оказаться одновременно и в Oe (a) и в Oe (b), что невозможно, т.к. они не пересекаются ? двух разных значений предела быть не может.

Теорема 3. «О пределе суммы, произведения и частного»

Если последовательность an имеет предел а, последовательность bn имеет предел b, то последовательность:

§ an ± bn a ± b

§ an ? bn a ? b

§ Теоремы о пределах. , если b ? 0, bn ? 0

Доказательство:

1) убедимся, что разница (an ± bn) – (a ± b) является бесконечно малой величиной.

an = a + ?n , ?n 0; bn = b + ?n , ?n 0; подставим эти выражения в разность:

(a + ?n) ± (b + ?n) – (a ± b) = (?n ± ?n) это выражение 0 ? является бесконечно малой величиной. Ч.т.д.

2) ?nbn – ab: an = a + ?n , ?n 0; bn = b + ?n , ?n 0; подставим эти выражения в разность: (a + ?n) (b + ?n) – ab = ab +b?n + a?n + ?nbn – ab = b?n + a?n + ?nbn каждое слагаемое этой суммы является бесконечно малой величиной ? теорема доказана.

3) убедимся в том, что разница Теоремы о пределах. является бесконечно малой величиной. Как только это выяснится, третья часть Теоремы будет доказана.

Т.к. a и b – это пределы ? последовательности an и bn могут быть представлены в виде: an = a + ?n , ?n 0; bn = b + ?n , ?n 0; подставим эти выражения в разность:

Теоремы о пределах.

величина является бесконечно малой, а величина начиная с некоторого номера будет Теоремы о пределах.

Произведение бесконечно малой величины на ограниченную является бесконечно малой величиной ? разность Теоремы о пределах. является бесконечно малой величиной ? теорема доказана.

Лекция 6: Функция. Предел функции в точке и бесконечности. Теоремы о пределах


Читать еще…

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: