Пусть ранг матрицы равен , — матрица, получившаяся в результате выполнения элементарного преобразования.

Рассмотрим перестановку строк. Пусть — минор матрицы , тогда в матрице есть минор , который или совпадает с , или отличается от него перестановкой строк. И наоборот, любому минору матрицы можно сопоставить минор матрицы или совпадающий с , или отличающийся от него порядком строк. Поэтому из того, что в матрице все миноры порядка равны нулю, следует, что в матрице тоже все миноры этого порядка равны нулю. И так как в матрице есть минор порядка , отличный от нуля, то и в матрице тоже есть минор порядка , отличный от нуля, то есть .

Рассмотрим умножение строки на число , отличное от нуля. Минору из матрицы соответствует минор из матрицы или совпадающий с , или отличающийся от него только одной строкой, которая получается из строки минора умножением на число, отличное от нуля. В последнем случае . Во всех случаях или и одновременно равны нулю, или одновременно отличны от нуля. Следовательно, .

Пусть к -ой строке матрицы прибавлена ее -ая строка, умноженная на число . Рассмотрим миноры порядка в матрице . Если через минор не проходит -ая строка, то он совпадает с минором , расположенным в тех же строках и столбцах в матрице , и следовательно, равен нулю.

Если через минор проходят и -ая и -ая строки, то он получается из минора , расположенного в тех же строках и столбцах матрицы , прибавлением к -ой строке минора -ой строки, умноженной на . По свойству определителя . Следовательно, .

Пусть через минор проходит -ая строка и не проходит -ая. Тогда отличается от -ой строкой. Эта строка в является строкой , к которой добавлены элементы -ой строки, умноженные на . По свойствам определителей , где — минор порядка матрицы , стоящий в -ой строке и в тех же строках, что и минор , исключая -ую, а знак связан с возможным изменением порядка строк. Так как все миноры порядка в матрице равны нулю, то .

Итак, в матрице все миноры порядка равны нулю. Следовательно, , то есть при выполнении элементарного преобразования третьего типа ранг не может повыситься. Предположим, что , и . Тогда в матрице к -ой строке прибавим -ую строку, умноженную на число . В результате получим исходную матрицу . По только что доказанному . Получили противоречие: . Предположение не верно, следовательно, .

Алгоритм вычисления ранга матрицы похож на алгоритм вычисления определителя и заключается в том, что с помощью элементарных преобразований матрица приводится к простому виду, для которого найти ранг не представляет труда. Так как при каждом преобразовании ранг не менялся, то, вычислив ранг преобразованной матрицы, мы тем самым находим ранг исходной матрицы.

Пусть ранг матрицы равен , -- матрица, получившаяся в результате выполнения элементарного преобразования.

§27 Нахождение ранга матрицы


Читать еще…

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: