Погрешность многочлена лагранжа

Оценить абсолютную погрешность интерполяционной формулы Погрешность многочлена лагранжа в любой точке Погрешность многочлена лагранжа можно с помощью неравенства Погрешность многочлена лагранжа , где Погрешность многочлена лагранжа , Погрешность многочлена лагранжа

Разделенные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Разделенной разностью k-го порядка по узлам называется формула вида:

Погрешность многочлена лагранжа

Сам же многочлен Ньютона имеет вид:

Погрешность многочлена лагранжа

Погрешность многочлена лагранжа (1)

Формула (1) является 1-ой формулой многочлена Ньютона для интерполирования в начале таблицы, т.е. здесь должно быть близко к .

При построении интерполяционной формулы Ньютона не учитываются никакие условия на расположение и нумерацию узлов интерполирования. Это означает, что нумеровать узлы можно произвольным образом и, как частный случай, нумеровать их в порядке убывания.

Тогда вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

Погрешность многочлена лагранжа

Интерполяционный процесс сходится равномерно, если: Погрешность многочлена лагранжа =0

Теорема Фабера о сходимости интерполяционного процесса: какой бы ни была последовательность сеток найдется такая непрерывная функция f(x) на [a,b], для которой интерполяционный процесс не сходится равномерно на [a,b].

Теорема говорит о том, что универсальной системы сеток нет, для которой многочлен Лагранжа всегда бы сходился к функции Погрешность многочлена лагранжа равномерно.

Теорема Марцинкевича: для любой непрерывной функции f(x) на [a,b] можно построить такую последовательность сеток, на которой интерполяционный процесс сходится равномерно к f(x).

Из теоремы Фабера следует, что нет равномерной сходимости при интерполировании многочленов, поэтому на практике часто применяют кусочно-полиномиальные функции, называемые сплайнами.

Обычно применяют параболические, кубические, линейные сплайны.

Интерполирование широко используется при интегрировании.

Лекция 6: Многочлен Лагранжа


Читать еще…

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: