Использование тригонометрических формул

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Сначала полное решение, потом комментарии.
Использование тригонометрических формул

Используем формулу:
Использование тригонометрических формул

Использование тригонометрических формул

(1) Мы видим, что в подынтегральном выражении находится произведение двух функций. К сожалению, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования произведения: Использование тригонометрических формул , поэтому приходится прибегать к различным ухищрениям. В данном случае мы прерываем решение значком и поясняем, что используется тригонометрическая формула. Данная формула превращает произведение в сумму.

(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла – интеграл от суммы равен сумме интегралов; константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

! Справка: При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что:

Косинус – это четная функция, то есть , минус исчезает без всяких последствий. В рассматриваемом примере:

Синус – функция нечетная: – здесь минус, наоборот – не пропадает, а выносится.

(3) Под интегралами у нас сложные функции (косинусы не просто от , а от сложного аргумента). Это простейшие из сложных функций, интегралы от них удобнее найти методом подведения под знак дифференциала. Более подробно с данным приёмом можно ознакомиться на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

(4) Используем табличную формулу , единственное отличие, вместо «икса» у нас сложное выражение.

Готово.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл.

Классика жанра для тех, кто тонет на зачёте. Как Вы, наверное, заметили, в таблице интегралов нет интеграла от тангенса и котангенса, но, тем не менее, такие интегралы найти можно.

Использование тригонометрических формул

(1) Используем тригонометрическую формулу Использование тригонометрических формул

(2) Подводим функцию под знак дифференциала.

(3) Используем табличный интеграл Использование тригонометрических формул .

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

Степени у нас будут потихоньку повышаться =).
Сначала решение:

Использование тригонометрических формул

(1) Используем формулу Использование тригонометрических формул

(2) Используем основное тригонометрическое тождество , из которого следует, что .

(3) Почленно делим числитель на знаменатель.

(4) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.

(5) Интегрируем с помощью таблицы.

18+ Математика без Ху%!ни. Формулы Приведения


Читать еще…

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: