Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом мы назвали поверхность, каноническое уравнение которой выглядит так:

Гиперболический параболоид .

Гиперболический параболоид, так же, как и эллиптический, симметричен относительно координатных плоскостей и , а относительно плоскости не имеет симметрии.

Пересечём эту поверхность плоскостью . В сечении получаем кривую, заданную уравнением:

Гиперболический параболоид .

Из него мы видим, что плоскости, параллельные плоскости , пересекают поверхность гиперболического параболоида по параболам, имеющим одинаковые фокальные параметры (т.е., по конгруэнтным параболам), их ветви направлены в сторону отрицательного направления оси , причём с ростом вершина параболы смещается вверх. На рис. 4.12 изображены проекции этих парабол на плоскость . Если же пересечь гиперболический параболоид плоскостями , то в сечениях получаем кривые

Гиперболический параболоид Гиперболический параболоид ,

Гиперболический параболоид т.е. опять конгруэнтные параболы, но их ветви направлены в сторону положительного направления оси , а с ростом вершина параболы смещается вниз. При проектировании их на плоскость получаем картинку, изображённую на рис. 4.13.

Теперь пересечём гиперболический параболоид плоскостью . В сечении получается кривая, заданная уравнением

Гиперболический параболоид . (1)

При это уравнение задаёт пару пересекающихся прямых

. (2)

Гиперболический параболоид Если , то плоскость пересекает гиперболический параболоид по гиперболам

Гиперболический параболоид ,

Гиперболический параболоид асимптотами которых являются прямые (2), действительной осью – ось , причём с ростом вершины этих гипербол удаляются от центра (от оси ). Если же , то уравнение (1) задаёт гиперболы

Гиперболический параболоид

с теми же самыми асимптотами, но с осью Гиперболический параболоид в качестве действительной. Проекции линий пересечения гиперболического параболоида плоскостями на плоскость изображены на рис. 4.14, а сам гиперболический параболоид – на рис. 4.15. Эта поверхность напоминает седло, часто её так и называют.

Гиперболический параболоид § 7. Эллипсоид

Седловая поверхность: гиперболический параболоид / Модели / Etudes.Ru


Читать еще…

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: